integral ve türev ne demek?

İntegral ve Türev

İntegral ve türev, kalkülüsün temel taşlarıdır ve matematik, fizik, mühendislik gibi birçok alanda kullanılırlar. Temel olarak, birbirlerinin tersi olan işlemdirler.

Türev (Derivative)

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızını ifade eder. Geometrik olarak, bir eğriye belirli bir noktada çizilen teğetin eğimidir.

• Tanım: Bir f(x) fonksiyonunun x'e göre türevi, f'(x) veya df/dx şeklinde gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:

  f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
  

• Yorum:

  • Pozitif türev: Fonksiyon artıyor.
  • Negatif türev: Fonksiyon azalıyor.
  • Sıfır türev: Fonksiyonun yerel maksimum, minimum veya durağan noktası.

• Uygulamalar: Hız, ivme, optimizasyon problemleri, teğet denklemi bulma gibi birçok alanda kullanılır.

• Önemli Konular:

  • Türev Alma Kuralları: Sabit sayının türevi, kuvvet kuralı, toplam kuralı, çarpım kuralı, bölüm kuralı, zincir kuralı.
  • Yüksek Mertebeden Türevler: İkinci türev, üçüncü türev vb.

İntegral (Integral)

İntegral, bir fonksiyonun eğrisi altında kalan alanı hesaplamaya yarar. Türevin tersi bir işlemdir, yani türevi alınan bir fonksiyonu bulmaya yarar.

• Tanım: Bir f(x) fonksiyonunun integrali, ∫f(x) dx şeklinde gösterilir ve F(x) + C olarak bulunur. Burada F(x), f(x)'in türevi alındığında f(x)'i veren bir fonksiyondur (antiderivatifi), C ise integral sabiti'dir.
• İki Temel Türü:
  • Belirli İntegral: Belirli sınırlar (a, b) arasında hesaplanan integraldir ve ∫ab f(x) dx şeklinde gösterilir. Sonuç, bir sayıdır ve eğrinin a ile b arasındaki alanını temsil eder.
  • Belirsiz İntegral: Bir fonksiyonun genel antiderivatifini bulmaya yarar ve ∫f(x) dx şeklinde gösterilir. Sonuç, bir fonksiyon ailesidir (F(x) + C).
• Uygulamalar: Alan, hacim, iş, ortalama değer, olasılık hesaplama gibi birçok alanda kullanılır.
• Önemli Konular:
  • İntegral Alma Kuralları: Sabit sayının integrali, kuvvet kuralı, toplam kuralı, trigonometrik fonksiyonların integralleri, üstel fonksiyonların integralleri.
  • İntegral Hesaplama Teknikleri: Değişken değiştirme, kısmi integrasyon, trigonometrik integraller, kesirli ifadelere ayırma.
  • Riemann İntegrali: İntegralin matematiksel tanımı.
  • İntegralin Temel Teoremi: İntegral ve türev arasındaki ilişkiyi açıklar.